Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（1，6）、點(diǎn)B （6，1）、點(diǎn)C（1，1）三點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)A在函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象上．
①求m的值及直線AB的解析式；
②求三角形OAB的面積；
③在y軸是否存在一點(diǎn)P使△OCP為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
④如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象與△ABC有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①把點(diǎn)A （1，6）代入函數(shù)y=

m

x

（x＞0）求出m的值；設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將A與B代入求出k與b的值，即可確定出直線AB的解析式；
②連接OA，OB，三角形AOB面積=三角形AOD面積+梯形ADEB面積-三角形OBE面積，求出即可；
③如圖所示，分四種情況考慮：當(dāng)OP₁=P₁C=1時(shí)，△OP₁C為等腰三角形；當(dāng)CP₂=OC=

2

時(shí)，△OP₂C為等腰三角形；當(dāng)OP₃=OC=

2

時(shí)，△OP₃C為等腰三角形；當(dāng)OP₄=OC=

2

時(shí)，△OP₄C為等腰三角形，分別求出對(duì)應(yīng)P的坐標(biāo)即可；
④由圖象找出滿足題意的格點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是反比例函數(shù)圖象過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，一是反比例函數(shù)圖象過(guò)C點(diǎn)時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)m的值，即可確定出滿足題意m的范圍．

解答：解：（1）①將A（1，6）代入反比例解析式得：6=

m

1

，即m=6；
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
將A（1，6），B（6，1）代入得：

k+b=6 6k+b=1

，
解得：

k=-1 b=7

，
則直線AB的解析式為y=-x+7；
②連接OA，OB，由題意得：AD=OE=6，OD=BE=1，DE=OE-OD=5，
則S_△OAB=S_△AOD+S_梯形ADEB-S_△BEO
=

1

2

×1×6+

1

2

×5×（1+6）-

1

2

×1×6
=

35

2

；
③如圖所示，
當(dāng)OP₁=P₁C=1時(shí)，△OP₁C為等腰三角形，此時(shí)P₁（0，1）；
當(dāng)CP₂=OC=

2

時(shí)，△OP₂C為等腰三角形，此時(shí)P₂（0，2）；
當(dāng)OP₃=OC=

2

時(shí)，△OP₃C為等腰三角形，此時(shí)P₃（0，

2

）；
當(dāng)OP₄=OC=

2

時(shí)，△OP₄C為等腰三角形，此時(shí)P₄（0，-

2

）；
綜上，P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，2）或（0，

2

）或（0，-

2

）；
④根據(jù)圖形得：格點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），（3，3），（4，2）；
（2）當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，1）時(shí)，m=1；
當(dāng)雙曲線經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)（

7

2

，

7

2

）時(shí)，m=

49

4

，
則函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象與△ABC有公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是1≤m≤

49

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題．