Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABOD為直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，動點P從點D出發(fā)，在線段DA上以每秒2個單位的速度向點A運動，到達A點后即停止，動點Q從點B出發(fā)，沿折線B-O-D以每秒1個單位的速度向點D運動，到達點D后停止，點P、Q同時出發(fā)，BD與PQ相交于點M，設運動的時間為t秒．
（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（2）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）是否存在時間t，使△BMQ為直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）當t為何值時？以B、P、Q三點為頂點的三角形的等腰三角形？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)題意寫出點A、B、D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）先求出點P到達點A的時間以及點Q到達點O與點D的時間，然后分①點Q在BO上時，用t表示出BQ，再根據(jù)點P到BQ的距離等于OD的長度，然后利用三角形的面積公式列式整理即可；②點Q在OD上時，點P已經與點A重合，用t表示出OQ、QD的長度，然后根據(jù)S_△BPQ=S_梯形ABOD-S_△BOQ-S_△ADQ，列式整理即可得解；
（3）分①PQ⊥BQ時，先求出四邊形PQOD是矩形，然后根據(jù)矩形的對邊相等可得OQ=PD，然后根據(jù)BO的長度列出關于t的方程求解即可；②PQ⊥BD時，利用勾股定理求出BD的長度，然后求出PM：BM的值，求出BM的長度，再利用∠DBO的余弦值列式求解即可；
（4）分①PB=PQ時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，過點P作PE⊥BQ于E，則四邊形PEOD是矩形，然后根據(jù)BE+OE=OB，列出關于t的方程求解即可；②PB=BQ時，點P已經與點A重合，過點P作PE⊥BQ于E，先利用勾股定理求出PB的長度，也就是BQ的長度，從而得解．

解答：解：（1）∵AD∥OB，∠BOD=90°，OB=16，OD=12，AD=21，
∴點A（-21，12），B（-16，0），D（0，12），
設過點A、B、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

441a-21b+c=12 256a-16b+c=0 c=12

，
解得

a= 3 20 b= 63 20 c=12

，
所以，拋物線的解析式為y=

3

20

x²+

63

20

x+12；

（2）∵點P的運動速度是每秒2個單位，點Q的運動速度是每秒1個單位，
∴點P到達點A的時間是21÷2=10.5秒，
點Q到達點O的時間是16÷1=16秒，到達點D的時間是（16+12）÷=28秒，
如圖，①點Q在BO上時，BQ=t，∵AD∥OB，∠BOD=90°，
∴點P到BQ的距離等于OD的長度，
∴△BPQ的面積為S=

1

2

BQ•OD=

1

2

t×12=6t（0＜t≤16）；
②點Q在OD上時，點P已經與點A重合，
OQ=t-16，DQ=16+12-t=28-t，
∴△BPQ的面積為S=S_梯形ABOD-S_△BOQ-S_△ADQ，
=

1

2

×（16+21）×12-

1

2

×（t-16）×16-

1

2

×（28-t）×21，
=222-8t+128-294+

21

2

t，
=

5

2

t+56（16＜t≤28）；
綜上，S=

6t(0＜t≤16) 5 2 t+56(16＜t≤28)

；

（3）如圖，①PQ⊥BQ時，∵四邊形ABOD為直角梯形，AD∥OB，∠BOD=90°，
∴四邊形PQOD是矩形，
∴OQ=PD，
∴BQ+OQ=BQ+PD=OB，
即t+2t=16，
解得t=

16

3

（秒）；
②PQ⊥BD時，∵∠BOD=90°，OB=16，OD=12，
∴BD=

OB2+OD2

=

162+122

=20，
∵AD∥OB，
∴

DM

BM

=

PD

BQ

=

2t

t

=2，
∴BM=

1

1+2

×20=

20

3

，
cos∠OBD=

20 3

t

=

16

20

，
解得t=

25

3

（秒）；
綜上，當t=

16

3

或

25

3

秒時，△BMQ為直角三角形；

（4）如圖，①PB=PQ時，過點P作PE⊥BQ于E，則四邊形PEOD是矩形，
∴BE=

1

2

BQ=

1

2

t，OE=PD=2t，
∵BE+OE=OB，
∴

1

2

t+2t=16，
解得t=

32

5

（秒），
②PB=BQ時，∵點P到BQ的距離為OD的長度是12，而點P到點A的時間是10.5秒，
∴此時點P早已與到達點A與點A重合，
過點P作PE⊥BQ于E，則PE=OD=12，BE=AD-OB=21-16=5，
根據(jù)勾股定理，PB=

PE2+BE2

=

122+52

=13，
∴BQ=PB=13，
∴t=13÷1=13（秒），
綜上，當t為

32

5

或13秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形的等腰三角形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角梯形的性質，動點問題，三角形的面積，本題最大的特點在于要根據(jù)運動時間的長短，對點P、Q的落點位置進行分情況討論，運算量較大，要認真分析計算．