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【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑,C是圓上一點,D是BC延長線上一點,過點D的直線交AC于E點,且△AEF為等邊三角形

(1)求證:△DFB是等腰三角形;

(2)若DA=AF,求證:CFAB.

【答案】(1)△DFB是等腰三角形 (2)見解析

【解析】(1)由AB是⊙O直徑,得到∠ACB=90°,由于△AEF為等邊三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°,根據三角形的外角的性質即可得到結論;

(2)過點A作AM⊥DF于點M,設AF=2a,根據等邊三角形的性質得到FM=EN=a,AM=a,在根據已知條件得到AB=AF+BF=8a,根據直角三角形的性質得到AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根據三角形的內角和即可得到結論.

解:(1)∵AB是⊙O直徑,

∴∠ACB=90°,

∵△AEF為等邊三角形,

∴∠CAB=∠EFA=60°,

∴∠B=30°,

∵∠EFA=∠B+∠FDB,

∴∠B=∠FDB=30°,

∴△DFB是等腰三角形;

(2)過點A作AM⊥DF于點M,設AF=2a,

∵△AEF是等邊三角形,∴FM=EN=a,AM=a,

在Rt△DAM中,AD=AF=2a,AM=

∴DM=5a,∴DF=BF=6a,

∴AB=AF+BF=8a,

在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a,

∵AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ECF=∠EFC,

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°,∴∠CFE=30°,

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°,

∴CF⊥AB.

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