Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，EF的延長線交BC的延長線于G點，且∠AEB=∠BEG；
（1）求證：∠ABE=

1

2

∠BGE；
（2）若AB=4，AE=1，求S_△BEG；
（3）若E、F兩點分別在AD、DC上運動，其它條件不變，試問：線段AE、EF、FC三者之間是否存在確定的數(shù)量關系？若存在，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由正方形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠AEB=∠GBE，由于∠AEB=∠BEG，根據(jù)等量代換得到∠BEG=∠GBE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，所以

1

2

∠BGE=90°-∠BEG=90°-∠AEB，加上∠ABE=90°-∠AEB，所以∠ABE=

1

2

∠BGE；
（2）作GH⊥BE于H，如圖1，在Rt△ABE中，利用勾股定理計算出BE=

17

，由△GBE為等腰三角形得BH=EH，則BH=

1

2

BE=

17

2

，再證明Rt△ABE∽Rt△BGH，利用相似比計算出GH=2

17

，然后根據(jù)三角形面積公式計算S_△BEG；
（3）作BQ⊥GE于Q，如圖2，先根據(jù)“AAS”證明BEA≌△BEQ，則AB=QB，AE=QE，則BQ=BC，再利用“HL”證明△BFQ≌△BFC，則FQ=FC，所以EF=EQ+FQ=AE+CF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∵∠AEB=∠BEG，
∴∠BEG=∠GBE，
∴△GBE為等腰三角形，
∴∠BGE=180°-∠BEG-∠EBG，即∠BGE=180°-2∠BEG，
∴

1

2

∠BGE=90°-∠BEG=90°-∠AEB，
而∠ABE=90°-∠AEB，
∴∠ABE=

1

2

∠BGE；

（2）解：作GH⊥BE于H，如圖1，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=1，BE=

AB2+AE2

=

17

∵△GBE為等腰三角形，
∴BH=EH，
∴BH=

1

2

BE=

17

2

，
∵∠AEB=∠GBH，
∴Rt△ABE∽Rt△BGH，
∴

AB

GH

=

AE

BH

，即

4

GH

=

1

17 2

，
∴GH=2

17

，
∴S_△BEG=

1

2

×BE×GE=

1

2

×

17

×2

17

=17；

（3）解：AE+GF=EF．理由如下：
作BQ⊥GE于Q，如圖2，
在△BEA和△BEQ中

∠A=∠BQE ∠AEB=∠QEB BE=BE

，
∴△BEA≌△BEQ（AAS），
∴AB=QB，AE=QE，
而AB=BC，
∴BQ=BC，
在△BFQ和△BFC中

BQ=BC BF=BF

，
∴△BFQ≌△BFC（HL），
∴FQ=FC，
∴EF=EQ+FQ=AE+CF．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算．