Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t=$\frac{13}{2}$時，四邊形ABQP是怎樣的四邊形？說明理由；
（2）填空：當(dāng)t=6s時，四邊形PQCD是平行四邊形；
（2）從運動開始，使PQ=CD，t=6s或7s．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABQP是矩形，求出AP、BQ的長，即可解決問題．
（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法可知：四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ；
（3）設(shè)運動時間為t秒，則有AP=tcm，CQ=3tcm，作PM⊥BC于BC于M，DN⊥BC于N，分別表示出BM、QM，則利用等腰梯形的性質(zhì)可建立關(guān)于t的方程，解出即可．

解答 解：（1）結(jié)論∴四邊形ABQP是矩形．
理由：當(dāng)t=$\frac{13}{2}$時，AP=$\frac{13}{2}$，BQ=BC-CQ=26-3×$\frac{13}{2}$=$\frac{13}{2}$，
∴AP=BQ，∵AP∥BQ，
∴四邊形ABQP是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形ABQP是矩形．

（2）當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形；
∴24-x=3x        
解得x=6s，
故答案為6s
（3）①由（2）可知t=6s時，四邊形PQCD是平行四邊形，此時PQ=CD．
②當(dāng)四邊形PQCD是等腰梯形時，PQ=CD．
設(shè)運動時間為t秒，則有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=26-3t，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，則有NC=BC-AD=26-24=2．
∵梯形PQCD為等腰梯形，
∴NC=QM=2，∴BM=（26-3t）+2=28-3t，
∴當(dāng)AP=BM，即t=28-3t，解得t=7，
∴t=7時，四邊形PQCD為等腰梯形．
綜上所述t=6s或7s時，PQ=CD．
故答案為6s或7s．

點評 此題考查了梯形的性質(zhì)及等腰梯形的判定，屬于動點型問題，關(guān)鍵是判斷出要求的三種條件下，點P及點Q位置，然后利用方程思想求解t的值，難度較大．