Question

15．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，BE是△DEC外接圓的切線．
（1）求∠C．
（2）若CD=2，求BE．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠BEO=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)，利用切割線定理列式計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接OE，
∵BE是△DEC外接圓的切線，
∴∠BEO=90°，
∵∠ABC=90°，E是AC的中點(diǎn)，
∴BE=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠BOE=2∠OCE，即∠BOE=2∠EBC，
∴∠EBC=30°，
∴∠C=30°；
（2）∵CD=2，
∴OE=OD=OC=1，
∵∠EBC=30°，∠BEO=90°，
∴BO=2OE=2，
∴BD=1，BC=3，
由切割線定理得，BE²=BD•BC=3，
∴BE=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切割線定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．