Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)C為直徑的圓交y軸于點(diǎn)D，∠DOC=30°，OC=2．延長DC至點(diǎn)B，使得CB=4DC，過B點(diǎn)作BA∥OC交x軸于A點(diǎn)．
（1）請(qǐng)求出BC的長度；
（2）若P點(diǎn)與B點(diǎn)是關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M、N分別為CB、AB上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)與B點(diǎn)是關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與AC、OC分別交于點(diǎn)E、F．若PE﹕PF=1：3，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．請(qǐng)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，并直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理可知∠ODC是直角，所以可求得CD的長為1，利用CB=4DC可知，CB的長度為4；
（2）根據(jù)（1）可知OA=4，OC，∠COA=60°，所以易證△OCA∽△CDO，可知∠OCA=90°，又易知四邊形AOCB是平行四邊形，所以∠CAB=90°，所以點(diǎn)P一定在BA的延長線上；
（3）由題意知：P與B關(guān)于MN，所以m的范圍是2＜m＜5，求出直線AC和OC的解析式后，設(shè)P的縱坐標(biāo)為a，然后將y=a分別代入直線AC和OC解析式中，求出E、F的橫坐標(biāo)，然后利用PF=3PE，列出關(guān)于a的方程，然后解出a即可得出M的縱坐標(biāo)．

解答 （1）由題意知：OC是直徑，
∴∠ODC=90°，
∵∠DOC=30°，
∴DC=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴BC=4DC=4；

（2）連接AC，
由（1）可知：∠ODC=90°
∴CD∥OA，
∵BA∥OC，
∴四邊形AOCB是平行四邊形，
∴OA=BC=4，
∵∠COD=30°，
∴∠COA=∠OCD=60°，
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{CD}=2$，
∴△OCA∽△CDO，
∴∠OCA=90°，
在BA的延長線上截取AP=AB，
過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，
∴AP=2，∠OAP=60°，
∴AG=1，PG=$\sqrt{3}$，
∴OG=OA-AG=3，
∴P（3，-$\sqrt{3}$）；

（3）由題意知：當(dāng)M與C重合，N在AB上移動(dòng)時(shí)，m的范圍是3＜m＜5，
當(dāng)N與A重合，M在CB上移動(dòng)時(shí)，m的范圍是2＜m＜5，
∴點(diǎn)P與B關(guān)于MN對(duì)稱時(shí)，2＜m＜5，
由（1）可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$），
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（4，0）和C（1，$\sqrt{3}$）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線OC的解析式為：y=mx，
把C（1，$\sqrt{3}$）代入y=mx，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴直線OC的解析式為：y=$\sqrt{3}$x，
設(shè)P的縱坐標(biāo)為a，
∴P的坐標(biāo)為（m，a）
∵PF∥x軸，
∴E、F的縱坐標(biāo)為a，
令y=a代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=4-$\sqrt{3}$a，
∴E（4-$\sqrt{3}$a，a），
令y=a代入y=$\sqrt{3}$x，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，a），
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AC的右側(cè)時(shí)，
∴PE=m-（4-$\sqrt{3}$a）=m-4+$\sqrt{3}$a，
PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵PF=3PE，
∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（m-4+$\sqrt{3}$a），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF之間時(shí)，
此時(shí)，PE=4-$\sqrt{3}$a-m，
PF=m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵PF=3PE，
∴m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=3（4-$\sqrt{3}$a-m），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），
綜上所述，P的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{5}（6-m）$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-m），m的范圍是：2＜m＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題目，涉及圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，題目較為綜合，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．