Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若 ，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S陰影＝4π﹣8.

【解析】

（1）連接AD、OD，則AD⊥BC，D為BC中點．OD為中位線，則OD∥AC，根據DF⊥AC可得OD⊥DF．得證；

（2）連接OE，利用（1）的結論得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結論．

（1）證明：連接AD，OD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中點，

∵O是AB的中點，

∴OD∥AC，

∴∠ODF+∠DFA＝180°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝90°．

∴∠ODF＝90°．

∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，

∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∠DFC＝∠DFA＝90°，

∴∠DAC＝∠CDF＝5°，

∵AB＝AC，D是BC中點，

∴∠BAC＝2∠DAC＝2×22.5°＝45°，

∵OA＝OE，

∴∠OEA＝∠BAC＝45°．

∴∠AOE＝90°，

∵AE＝4，

∴OA＝OE＝4．

S陰影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．