Question

7．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE=5$\sqrt{5}$cm，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，那么矩形ABCD的周長為36cm．

Answer 1

分析 根據tan∠EFC的值，可設CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根據∠BAF=∠EFC，利用三角函數的知識求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，繼而代入可得出答案．

解答 解：∵tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，
∴設CE=3k，則CF=4k，
由勾股定理得EF=DE=5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{125{k}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
解得：k=1，
故矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（8k+10k）=36cm，
故答案為：36．

點評 此題考查了矩形的性質以及翻折變換的知識，解答本題關鍵是根據三角函數值，表示出每條線段的長度，然后利用勾股定理進行解答，有一定難度．