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15.如圖,已知正△ABC的邊長為9,⊙O是它的內(nèi)切圓,則圖中陰影部分的面積為\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}.(結果保留π)

分析 要求陰影部分的面積就要明確S陰影=\frac{1}{3}S△ABC-\frac{1}{3}S⊙O,然后依面積公式計算即可.

解答 解:∵△ABC是正三角形,⊙O是它的內(nèi)切圓,
∴△AOB的面積是正△ABC的\frac{1}{3},扇形的面積是圓面積的\frac{1}{3}
陰影部分的面積=\frac{1}{3}S△ABC-\frac{1}{3}S⊙O,
∵正△ABC的邊長為9,
則正三角形的高為\sqrt{{9}^{2}-4.{5}^{2}}=\frac{9\sqrt{3}}{2},
⊙O的半徑=\frac{3\sqrt{3}}{2},
∴S陰影=\frac{1}{3}S△ABC-\frac{1}{3}S⊙O=\frac{1}{3}\frac{1}{2}×9×\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{27}{4}π)=\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}
故答案為:\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}

點評 本題考查了內(nèi)切圓的性質、正三角形的性質、勾股定理、三角形面積公式及圓的面積公式;根據(jù)題意得出陰影部分的面積=\frac{1}{3}S△ABC-\frac{1}{3}S⊙O是解決問題的關鍵.

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