Question

【題目】如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G.連接GF.下列結(jié)論：①∠AGD=112.5°；②AD：AE=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2 OG。其中正確結(jié)論的序號是______.

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】分析：①根據(jù)正方形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得出和，即可求解；
②根據(jù)直角三角形的直角邊小于斜邊，即可得出結(jié)論；
③根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形的高相等，再分析底邊長即可；
④證明四條邊相等即可；
⑤由折疊的性質(zhì)設(shè)進(jìn)一步表示的長度，結(jié)合相似三角形進(jìn)行求解即可．

詳解：因?yàn)樵谡�方形紙�?/span>ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，

所以

可求, 所以①正確,

因?yàn)?/span>tan∠AED=

因?yàn)?/span>AE=EF<BE，

所以

因?yàn)?/span>AD=AB，因此②錯(cuò).

因?yàn)?/span>AG=FG>OG，△AGD與△OGD同高，

所以 所以③錯(cuò).

根據(jù)題意可得：AE=EF,AG=FG,又因?yàn)?/span>EF∥AC，

所以∠FEG=∠AGE，又因?yàn)椤?/span>AEG=∠FEG，

所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，

所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確.

由折疊的性質(zhì)設(shè)BF=EF=AE=1,則

由此可求，

因?yàn)?/span>EF∥AC，

所以△DOG∽△DFE，

所以

∴

在直角三角形BEF中,

所以△BEF是等腰直角三角形，同理可證△OFG是等腰直角三角形，

在等腰直角和等腰直角中,

所以BE=2OG.因此⑤正確.

故答案為：①④⑤.