Question

直線y=x+b與雙曲線y=

m

x

（x＜0）交于點(diǎn)A（-1，-5），并分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、B．
（1）直接寫出b=

-4

，m=

5

．
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＜

m

x

的解集為

x＜-1

．
（3）連接OA，求∠OAB的正弦值．
（4）若點(diǎn)D在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A坐標(biāo)代入直線方程，求出b的值，將A坐標(biāo)代入雙曲線解析式中，求出m的值即可；
（2）由雙曲線與直線的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，在圖象上找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)下方時(shí)x的范圍即可；
（3）過O作OH⊥BC，對(duì)于直線y=x-4，分別令x與y等于0，求出B與C的坐標(biāo)，得到OB=OC，且OC與OB垂直，得到三角形OBC為等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OH的長，再由A與O的坐標(biāo)，求出AO的長，在直角三角形AOH中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出∠OAB的正弦值；
（4）由三角形BOC為等腰直角三角形，得到BH=OH，在直角三角形AOH中，由AO與OH的長，利用勾股定理求出AH的長，由AH-BH求出AB的長，可得出D在C的右側(cè)，利用鄰補(bǔ)角定義求出∠OBA=∠DCB=135°，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況考慮，分別求出CD的長，由C的橫坐標(biāo)即OC的長求出OD的長，即可確定出滿足題意D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-1，-5）代入直線y=x+b中，得：-5=-1+b，即b=-4，
將A（-1，-5）代入雙曲線解析式得：-5=

m

-1

，即m=5；
（2）由圖象可得：不等式x+b＜

m

x

的解集為x＜-1；
（3）過O作OH⊥BC，垂足為H，
對(duì)于直線y=x-4，令y=0求出x=4，即C（4，0），令x=0求出y=-4，即B（0，-4），
∴OB=OC=4，即△BOC為等腰直角三角形，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∴OH=

1

2

BC=2

2

，
由點(diǎn)O（0，0），A（-1，-5），得：OA=

26

，
在Rt△OAH中，sin∠OAB=

2 2

26

=

2 13

13

；
（4）由（3）可知，△OBC為等腰直角三角形，OH=BH=2

2

，
在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理得：AH=

AO2-OH2

=

26-8

=3

2

，
∴AB=AH-BH=

2

，
∴當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，∠OBA=∠DCB=135°，
①當(dāng)

CD

CB

=

BA

BO

，即

CD

4 2

=

2

4

時(shí)，解得CD=2，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=2+4=6，
此時(shí)D坐標(biāo)為（6，0）；
②當(dāng)

CD

CB

=

BO

BA

，即

CD

4 2

=

4

2

時(shí)，解得CD=16，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=16+4=20，
此時(shí)D坐標(biāo)為（20，0），
綜上所述，若△BCD與△ABO相似，此時(shí)D坐標(biāo)為（6，0）或（20，0）．
故答案為：（1）-6；5；（2）x＜-1

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．