【題目】如圖①,在△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,經(jīng)過點C的⊙O與△ABC的每條邊都相交.⊙O與AC邊的另一個公共點為D,與BC邊的另一個公共點為E,與AB邊的兩個公共點分別為F、G.設(shè)⊙O的半徑為r.
(操作感知)
(1)根據(jù)題意,僅用圓規(guī)在圖①中作出一個滿足條件的⊙O,并標明相關(guān)字母;
(初步探究)
(2)求證:CD2+CE2=4r2;
(3)當r=8時,則CD2+CE2+FG2的最大值為 ;
(深入研究)
(4)直接寫出滿足題意的r的取值范圍;對于范圍內(nèi)每一個確定的r的值,CD2+CE2+FG2都有最大值,每一個最大值對應(yīng)的圓心O所形成的路徑長為 .
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)48;(4).
【解析】
(1)根據(jù)要求畫出圖形即可(如圖①所示);
(2)如圖②中,連接.利用勾股定理即可解決問題;
(3)因為是定值,是的弦,的半徑為定值 8,所以弦心距越小則弦越長,圓心在以為圓心8為半徑的圓上,當時,到距離最短,此時最大,由此即可解決問題;
(4)首先確定的范圍.圓心距離最近時的值最大,當半徑比較小時,在上時的值最大,當圓心在 上,圓正好經(jīng)過點時,設(shè),在△中,則有,解得,當時,若還在上,則點在圓內(nèi),圓不與邊相交,推出此時圓心應(yīng)該是在中垂線上,推出時,在上,時,在中垂線上,則的值最大,推出路徑如下圖折線.
(1)解:如圖①即為所求,
(2)證明:如圖②中,連接DE.
∵∠DCE=90°,
∴DE為⊙O直徑,即DE=2r,
∴CD2+CE2=DE2=4r2,
(3)解:如圖③中,
∵CD2+CE2是定值,FG是⊙O的弦,⊙O的半徑為定值 8,
∴弦心距越小則弦FG越長,圓心O在以C為圓心8為半徑的圓上,
當CO⊥AB時,O到AB距離最短,此時FG最大,
∵ ,
∴CH==12,
∵OC=8,
∴OH=4,
OH⊥FG,
∴,
∴,
∴CD2+CE2+FG2的最大值=.
故答案為:448.
(4)如圖④中,
當⊙O1 與AB相切時,⊙O1的直徑最小,最小值為12,此時r=6,
當圓心O2在AB上時,圓直徑最大等于AB=25,
∴,
∵圓心距離AB最近時CD2+CE2+FG2的值最大,
當半徑比較小時,O在CH上時CD2+CE2+FG2的值最大,
當圓心在CH 上,圓正好經(jīng)過點A時,設(shè)O0A=O0C=r,
在Rt△AO0H中,則有r2=(12﹣r)2+92,
解得:,
∴,
當時,若O還在CH上,則A點在圓內(nèi),圓不與AB邊相交,
∴此時圓心應(yīng)該是在AC中垂線上,
∴時,O在CH上,
時,O在AC中垂線上,則CD2+CE2+FG2的值最大,
∴O路徑如下圖折線 O1﹣O0﹣O2
∵O1H=6,,
∴,
∵,AH=9,
∴,
∴,
∴O點路徑長=.
故答案為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽市精準扶貧工作已進入攻堅階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下,把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)水果藍莓,今年正式上市銷售.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴大銷量,采取了降價措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 且第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售藍莓的成木是18元/千克,每天的利潤是W元(利潤=銷售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求銷售藍莓第幾天時,當天的利潤最大?最大利潤是多少?
(3)在銷售藍莓的30天中,當天利潤不低于870元的共有多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題呈現(xiàn)
如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,連接格點、和、,與相交于點,求的值.
方法歸納
求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出(或構(gòu)造出)一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中不在直角三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題.比如連接格點、,可得,則,連接,那么就變換到中.
問題解決
(1)直接寫出圖1中的值為_________;
(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,與相交于點,求的值;
思維拓展
(3)如圖3,,,點在上,且,延長到,使,連接交的延長線于點,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著疫情的有效控制我省百大項目之一的哈爾濱地鐵“二號線三號線”全面復(fù)工修建,建設(shè)方通過合理化地施工設(shè)計,加大適當?shù)耐度雭韽浹a前期耽誤的工作量,以保證今年修建目標的實現(xiàn)。修建過程中有大量的殘土需要運輸。某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛,全部車輛運輸一次可以運輸110噸殘土.
(1)求該車隊有載重量為8噸、10噸的卡車各多少輛?
(2)隨著工程的進展,該車隊需要一次運輸殘土不低于165噸,為了完成任務(wù),該車隊準備新購進這兩種卡車共6輛,則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“元旦大酬賓!”,某商場設(shè)計的促銷活動如下:在一個不透明的箱子里放有3張相同的卡片,卡片上分別標有“10元”、“20元”和“30元”的字樣,規(guī)定:在本商場同一日內(nèi),顧客每消費滿300元,就可以在箱子里摸出一張卡片,記下錢數(shù)后放回,再從中摸出一張卡片.商場根據(jù)兩張卡片所標金額的和返還相等價格的購物券,購物券可以在本商場消費.某顧客剛好消費300元.
(1)該顧客最多可得到 元購物券;
(2)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購物券的金額不低于40元的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點E、F在對角線BD上,且BE=DF.求證:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明從家去上學(xué),先步行一段路,因時間緊,他改騎共享單車,結(jié)果到學(xué)校時遲到了7min,其行駛的路程(單位:)與時間(單位:)的關(guān)系如圖.若他出門時直接騎共享單車(兩次騎車速度相同),則下列說法正確的是( )
A.小明會遲到2min到校B.小明剛好按時到校
C.小明可以提前1min到校D.小明可以提前2min到校
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線y=和直線y=-x+2,P是雙曲線第一象限上一動點,過P作y軸的平行線,交直線y=-x+2于Q點,O為坐標原點.
(1)求直線y=-x+2與坐標軸圍成三角形的周長;
(2)設(shè)△PQO的面積為S,求S的最小值.
(3)設(shè)定點R(2,2),以點P為圓心,PR為半徑畫⊙P,設(shè)⊙P與直線y=-x+2交于M、N兩點.
①判斷點Q與⊙P的位置關(guān)系,并說明理由;
②求S△MON=S△PMN時的P點坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四張撲克牌的點數(shù)分別是2,5,6,8,除點數(shù)不同外,其余都相同,將它們洗勻后背面朝上放在桌上
(1)若從中隨機抽取一張牌,則抽出的牌的點數(shù)是偶數(shù)的概率為 ;
(2)若隨機抽取一張牌不放回,接著再抽取一張牌,請用列表法或畫樹狀圖法(只選其中一種)表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,并求所抽兩張牌的點數(shù)都是偶數(shù)的概率.
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