Question

如圖，已知A、C兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=

1

x

上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)比點(diǎn)A的橫坐標(biāo)多2，AB⊥x軸，CD⊥x軸，CE⊥AB，垂足分別是B、D、E．
（1）當(dāng)A的橫坐標(biāo)是1時(shí)，求△AEC的面積S₁；
（2）當(dāng)A的橫坐標(biāo)是n時(shí)，求△AEC的面積S_n；
（3）當(dāng)A的橫坐標(biāo)分別是1，2，…，10時(shí)，△AEC的面積相應(yīng)的是S₁，S₂，…，S₁₀，求S₁+S₂+…+S₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）易得圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），那么可得反比例函數(shù)的比例系數(shù)為1，△AEC的面積S₁=

1

2

×AE×EC，把相關(guān)數(shù)值代入即可；
（2）同理可得S_n的值；
（3）按得到的相應(yīng)規(guī)律計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
∴反比例函數(shù)的比例系數(shù)k為1×1=1；
∵A的橫坐標(biāo)是1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)比點(diǎn)A的橫坐標(biāo)多2，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為

1

3

，
∴△AEC的面積S₁=

1

2

×AE×EC=

1

2

×2×（1-

1

3

）=

2

3

；

（2）由（1）可得當(dāng)A的橫坐標(biāo)是n時(shí)，△AEC的面積S_n=

1

2

×2×（

1

n

-

1

n+2

）=

2

n(n+2)

；

（3）S₁+S₂+…+S₁₀=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

10

-

1

12

）=1+

1

2

-

1

11

-

1

12

=

175

132

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)當(dāng)橫坐標(biāo)為n時(shí)，所求的三角形的面積應(yīng)等于

1

n

-

1

n+2

．