如圖,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2
3
,0)、(0,2),P是△AOB外接圓上的一點(diǎn),且∠AOP=45°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為
3
+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3
3
+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3
分析:過圓心C作CF平行于OA,過P作PE垂直于x軸,兩線交于F,由A和B的坐標(biāo)得出OA及OB的長,利用勾股定理求出AB的長,由∠AOP=45°,得到三角形POE為等腰直角三角形,得到P的橫縱坐標(biāo)相等,設(shè)為(a,a),再由∠AOB=90°,利用圓周角定理得到AB為直徑,外接圓圓心即為直徑AB的中點(diǎn),設(shè)為C,求出C的坐標(biāo),可得出PC=2,根據(jù)垂徑定理求出EF的長,用PE-EF表示出PF,用P的橫坐標(biāo)減去C的橫坐標(biāo),表示出CF,在直角三角形PCF中,利用勾股定理列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,進(jìn)而確定出P的坐標(biāo).
解答:解:∵OB=2,OA=2
3
,
∴AB=
OA2+OB2
=4,
∵∠AOP=45°,
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等,可設(shè)為a,即P(a,a),
∵∠AOB=90°,
∴AB是直徑,
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點(diǎn),坐標(biāo)C(
3
,1),
可得P點(diǎn)在圓上,P點(diǎn)到圓心的距離為圓的半徑2,
過點(diǎn)C作CF∥OA,過點(diǎn)P作PE⊥OA于E交CF于F,
∴∠CFP=90°,
∴PF=a-1,CF=a-
3
,PC=2,
∴在Rt△PCF中,利用勾股定理得:(a-
3
2+(a-1)2=22,
舍去不合適的根,可得:a=1+
3
,
則P點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
+1,
3
+1).
∵P與P′關(guān)于圓心(
3
,1)對稱,
∴P′(
3
-1,1-
3
).
故答案為:(
3
+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3
點(diǎn)評:此題考查了圓周角定理,勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),以及角平分線的性質(zhì),利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
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1x
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(1)當(dāng)A的橫坐標(biāo)是1時(shí),求△AEC的面積S1;
(2)當(dāng)A的橫坐標(biāo)是n時(shí),求△AEC的面積Sn;
(3)當(dāng)A的橫坐標(biāo)分別是1,2,…,10時(shí),△AEC的面積相應(yīng)的是S1,S2,…,S10,求S1+S2+…+S10的值.

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3
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