【題目】已知:如圖,AB是半圓O的直徑,弦CD∥AB,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上,且DQ=OP,AP的延長(zhǎng)線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合),AB=20,cos ∠AOC=.設(shè)OP=x,△CPF的面積為y.
(1)求證:AP=OQ;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)當(dāng)△OPE是直角三角形時(shí),求線段OP的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見解析;(2)y=,x的取值范圍為 <x<10;(3)線段OP的長(zhǎng)為8.
【解析】
(1)連接OD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得出∠AOC=∠ODC,再利用邊角邊的判斷定理可證明△AOP≌△ODQ,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明AP=OQ.
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G.根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可證明△PFC∽△PAO,利用三角函數(shù)的計(jì)算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面積,再利用相似三角形面積之比等于相似比的平方即可用x表示出y,分別取點(diǎn)F與點(diǎn)D和點(diǎn)C重合時(shí),利用垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)可求出x的值,因?yàn)辄c(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合,即可得出X的取值范圍。
(3)根據(jù)題意可知,當(dāng)△POE為直角三角形時(shí),可分三種情況討論:即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°,分別討論三種情況OP的長(zhǎng),并取符合(2)中x的取值范圍的結(jié)果。
(1)證明:連結(jié)OD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵CD∥AB,∴∠AOC=∠OCD,
∴∠AOC=∠ODC.
在△AOP和△ODQ中,
∴△AOP≌△ODQ,
∴AP=OQ.
(2)作PH⊥OA,垂足為H,作OG⊥CD,垂足為G.
由cos∠AOC=可得OH=x,
再RT△OPH中,由勾股定理可得:PH=,
則S△AOP==3x.
∵CD∥AB,
∴△PFC∽△PAO,
∴,
∴=.
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),OP=10.
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí),
∵cos∠OCG==cos∠AOC=,
∴CG=8,
∴CD=16.
∵,
∴
解得x=.
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合,
∴x的取值范圍為<x<10.
(3)解:當(dāng)∠POE=90°時(shí),CQ=,OP=DQ=CD-CQ=3.5(舍去);
當(dāng)∠OPE=90°時(shí),則∠APO=90°,
∴OP=AO·cos∠COA=8;
當(dāng)∠OEP=90°時(shí),此種情況不存在.
∴線段OP的長(zhǎng)為8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y═的圖象交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,m).
(1)求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)某校為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的安全教育工作,開展了安全知識(shí)競(jìng)賽,該校在初三年級(jí)中隨機(jī)抽取了一部分同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī),并把抽取的競(jìng)賽成績(jī)分成優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí),同時(shí)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答以下問(wèn)題:
(1)該校在初三年級(jí)中隨機(jī)抽取了多少名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)?
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中的值,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從優(yōu)等中選出兩名同學(xué)在全年級(jí)進(jìn)行交流,請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法求出所選兩名學(xué)生恰好是一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖5,在A島周圍25海里水域有暗礁,一輪船由西向東航行到O處時(shí),發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°方向,輪船繼續(xù)前行20海里到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45°方向,該船若不改變航向繼續(xù)前進(jìn),有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)? (參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8,⊙O的半徑為2,圓心在正方形的中心上,將紙片按圖示方式折疊,使EA′恰好與⊙O相切于點(diǎn)A′(△EFA′與⊙O除切點(diǎn)外無(wú)重疊部分),延長(zhǎng)FA′交CD邊于點(diǎn)G,則A′G的長(zhǎng)是( )
A. 6 B. C. 7 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有三張背面完全相同的紙牌A、B、C,其中正面分別畫有三種不同的幾何圖形,小華將這3張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張,放回洗勻后再摸出一張,請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法,求摸出的兩張紙牌面上所畫幾何圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),小球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t﹣5t2.解答以下問(wèn)題
(1)小球從飛出到落地要用多少時(shí)間?
(2)小球飛行的最大高度是多少?此時(shí)需要多少飛行時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有兩個(gè)紙箱,每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有4個(gè)材質(zhì)、大小都相同的乒乓球,其中一個(gè)紙箱內(nèi)4個(gè)小球上分別寫有1、2、3、4這4個(gè)數(shù),另一個(gè)紙箱內(nèi)4個(gè)小球上分別寫有5、6、7、8這4個(gè)數(shù),甲、乙兩人商定了一個(gè)游戲,規(guī)則是:從這兩個(gè)紙箱中各隨機(jī)摸出一個(gè)小球,然后把兩個(gè)小球上的數(shù)字相乘,若得到的積是2的倍數(shù),則甲得1分,若得到積是3的倍數(shù),則乙得2分.完成一次游戲后,將球分別放回各自的紙箱,搖勻后進(jìn)行下一次游戲,最后得分高者勝出.。
(1)請(qǐng)你通過(guò)列表(或樹狀圖)分別計(jì)算乘積是2的倍數(shù)和3的倍數(shù)的概率;
(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?為什么?若你認(rèn)為不公平,請(qǐng)你修改得分規(guī)則,使游戲?qū)﹄p方公平.
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【題目】“圓材埋壁”是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題,“今有圓材,埋于壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?” 用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)是:“如圖,CD是⊙O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,CE = 1寸,AB = 1尺,求直徑的長(zhǎng)”. 依題意,CD長(zhǎng)為( )
A. 寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
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