Question

【題目】在數(shù)學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：
已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點，分別以AC，BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和BCD，聯(lián)結(jié)AD，BE交于點P．
（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數(shù)量關系是： ．

（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．

（3）在（2）的條件下，∠APE的大小是否隨著∠ACB的大小的變化而發(fā)生變化，若變化，寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：AD=BE
（2）解：AD=BE成立．
證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD
（3）解：∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．
如圖2，設BE與AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
【解析】（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD與△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
所以答案是AD=BE．