Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)到D，使DC=4CA，連接BD．

（1）求⊙M的半徑；

（2）證明：BD為⊙M的切線；

（3）在直線MC上找一點(diǎn)P，使|DP﹣AP|最大．

Answer 1

（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP﹣AP|的最大值，為．

【解析】（1）∵由題意可得出：OA²+OB²=AB²，AO=4，BO=3，∴AB=5．∴圓的半徑為．

（2）由題意可得出：M（2，）．∵C為劣弧AO的中點(diǎn)，由垂徑定理且 MC=，故 C（2，﹣1）．如答圖1，過(guò) D 作 DH⊥x 軸于 H，設(shè) MC 與 x 軸交于 N，則△ACN∽△ADH，又∵DC=4AC，∴ DH=5NC=5，HA=5NA=10．∴D（﹣6，﹣5）．

設(shè)直線BD表達(dá)式為：y=ax+b，則，解得：．∴直線BD表達(dá)式為：y=x+3．

設(shè) BD 與 x 軸交于Q，則Q（）．∴OQ=．∴．

∵，∴．∴△ABQ是直角三角形，即∠ABQ=90°．

∴BD⊥AB，BD為⊙M的切線．

（3）如答圖2，取點(diǎn)A關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)交直線MC于P，此P點(diǎn)為所求，且線段DO的長(zhǎng)為|DP﹣AP|的最大值．

設(shè)直線DO表達(dá)式為 y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=．∴直線DO表達(dá)式為 y=x

又∵在直線DO上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴y=．∴P（2，）．此時(shí)|DP﹣AP|=DO=．