Question

如圖，把一塊含45°的直角三角板AOB放置在以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，2），直線x=2交x軸于點B．P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=2于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=2于點N．
（1）填空：∠NPB=

 

度；
（2）當點C在第一象限時，
①試判斷PO與PC的大小關系，并加以證明；
②設AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）設點P的橫坐標為t，當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=2上移動，以點B為圓心，BC長為半徑作⊙B，求線段PN與⊙B有一個交點時，t的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質求出MN∥OB，求出∠NPB=∠ABO即可；
（2）①證等腰△AOB、△AMP、△PNB，推出PN=BN=OM，推出∠NPC=∠MOP，證△OPM≌△PCN即可；②求出AM、OM，計算出矩形的面積減去兩個△MOP的面積即可；
（3）①當點P與點A重合時，求出P的坐標；
②當點P恰好在⊙B上時，點C在第四象限，此時BP=BC，求出m，求出PM，OM即可；當MN與⊙B相切時，證△OPM≌△PCN，推出PC=OP，求出PM、OM即可．

解答：（1）解：∵MN∥OB，OA∥BN，∠AOB=90°，
∴四邊形MOBN是矩形，
∴MN∥OB，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
故答案為：45．

（2）①PO=PC；
證明：
∵OM∥BN，MN∥OB，
∴四邊形OBNM是矩形，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，
∴PN=BN=OM，
∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠NPC=∠MOP，
又∠OMP=∠PNC=90°，
∴△OPM≌△PCN，
∴PO=PC．

②依題意可得：AM=PM=

2

2

AP=

2

2

m，
∴OM=OA-AM=2-

2

2

m．
∴S=S矩形OBNM-2S△MOP=OM•OB-OM•PM=OM•PN=OM2=(2-

2

2

m)2=4-2

2

m+

m2

2

(0≤m＜

2

)

（3）①當點P與點A重合時，點P、M、A三點重合，點C、N重合，由PC⊥BC，則線段PN與⊙B相切，即PN與⊙B有交點，此時PC=2，P（0，2）；
②當點P恰好在⊙B上時，點C在第四象限，此時BP=BC，
∴

2

BN=CN-BN，即

2

OM=MP-OM

2

(2-

2

2

m)=

2

2

m-(2-

2

2

m)
∴m=2，
∴PM=

2

2

m=

2

，OM=2-

2

2

m=2-

2

∴P(

2

， 2-

2

2

)
當MN與⊙B相切時，此時BC=BN=PN，
同理可證得：△OPM≌△PCN，則PC=OP，PN=OM，NC=MP，則MP+PN=CN+PN=3PN=MN，
故MP=

2

3

MN=

2

3

×2=

4

3

，MO=

1

3

MN=

1

3

×2=

2

3

，∴P(

4

3

， 

2

3

)
綜上，當t=0或

4

3

≤t≤

2

時，線段PN與⊙B有一個交點．

點評：本題主要考查對等腰直角三角形，矩形的性質，全等三角形的性質和判定，直線與圓的位置關系等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．