Question

已知二次函數(shù)y=（x-1）（x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使P、A、C能組成以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0，代入二次函數(shù)求得y的值作為與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，將y=0代入二次函數(shù)求得x的值作為與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）利用上題求得的與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到OC=4、AB=3，就可以求S_△ABC；
（3）假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），分C為頂角的頂點(diǎn)時(shí)和A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)兩種情況求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)y=（-1）×（-4）=4
∴C的坐標(biāo)（0，4）
當(dāng)y=0時(shí)設(shè)（x-1）（x-4）=0
解得x₁=1 x₂=4
∵A在B的左邊
∴A（1，0）B（4，0）…（2分）

（2）∵C（0，4）、A（1，0）、B（4，0）
∴OC=4  AB=3
∴S_△ABC=

1

2

OC•AB=6 …（4分）

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
由（2）知OC=4，OA=1
在RT△AOC中AC=

0A2-0C2

=

17

∴C為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則CP=AC，
即|y-4|=

17

解得y1=4+

17

y2=4-

17

∴當(dāng)P為（0，4+

17

）或（0，4-

17

）時(shí)P、A、C組成的AC為腰的等腰△…（6分）
∴A為頂角的頂點(diǎn)時(shí)，則AC=AP
∵OA⊥PC
∴OC=OP  …（8分）
即|y|=4，
解得y₁=-4，y₂=4（舍去）
∴當(dāng)P（0，-4）時(shí)P、A、C組成了以AC為腰的等腰△…（8分）
綜上所述當(dāng)P的坐標(biāo)為（4+

17

），（4-

17

），（0，-4）時(shí)是P、A、C組成了以AC為腰的等腰△…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，這是下一步做題的基礎(chǔ)．