Question

17．如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸為直線x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接PB、PC，求△PBC的面積；
（3）連接AC，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，已知對(duì)稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出A的坐標(biāo)，利用拋物線過A、B、C三點(diǎn)，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式
（2）首先利用各點(diǎn)坐標(biāo)得△PBC是直角三角形，進(jìn)而得出答案；
（3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長(zhǎng)，已經(jīng)求出了PB的長(zhǎng)度，那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長(zhǎng)，即可得出Q的坐標(biāo)．
②當(dāng)$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{CB}$，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，可參照①的方法求出Q的坐標(biāo)．
③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵y=-x+3過點(diǎn)C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為x=2，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴該拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）如圖1，∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
又∵B（3，0），C（0，3），
∴PC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{（3-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，
又∵PB²+BC²=2+18=20，PC²=20，
∴PB²+BC²=PC²，
∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PB•BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3；

（3）如圖2，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=$\sqrt{2}$．
由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3$\sqrt{2}$．
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
①當(dāng)$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：BQ=3，
又∵BO=3，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q₁的坐標(biāo)是（0，0）．
②當(dāng)$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{CB}$，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得：QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$，
∴Q₂的坐標(biāo)是（$\frac{7}{3}$，0）．
③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，
則∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
故∠PBQ≠∠BAC．
則點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上，
綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0），
能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識(shí)，也考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、分析問題、解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，正確運(yùn)用分類討論是解題關(guān)鍵．