Question

【題目】如圖，在Rt中，∠C=90°，AC=BC，在線段CB延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P,以AP為直角邊，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，在射線CB上方作等腰 Rt, 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB,垂足為點(diǎn)E．

（1） 依題意補(bǔ)全圖形；

（2） 求證： AC=PE；

（3） 連接DB，并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，用等式表示線段CF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）AC=CF，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)描述作出圖形；

（2）先證明△ACP≌△DEP，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）中全等得出PC=DE，再由線段間的轉(zhuǎn)化可得出PC=BE，故可得出△DBE為等腰直角三角形，從而△BCF也為等腰直角三角形，結(jié)論得證.

解：（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2） 證明：∵DE⊥CB, ∠C=90°，

∴∠DEP=∠C =90°，

∴∠3+∠2=90°，

又∵∠APD =90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

又∵AP=DP，

∴△ACP≌△PED （AAS），

∴AC=PE.

（3） 線段CF與AC的數(shù)量關(guān)系是CF=AC.

∵△ACP≌△PED，

∴PC=DE，

又∵AC=BC，

∴BC=PE， ∴PC=BE,

∴BE=DE，

即△DBE為等腰直角三角形，

易證△BCF為等腰直角三角形，

∴BC=CF，

∴AC=CF .