Question

大學(xué)生李某投資在沙坪壩學(xué)校密集的沙南街路段投資開辦了一個(gè)學(xué)生文具店．該店在開學(xué)前8月31日采購進(jìn)一種今年新上市的文具袋．9月份（9月1日至9月30日）進(jìn)行30天的試銷售，購進(jìn)價(jià)格為20元/個(gè)．銷售結(jié)束后，得知日銷售量y（個(gè)）與銷售時(shí)間x（天）之間有如下關(guān)系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x為整數(shù)）；又知銷售價(jià)格z（元/個(gè)）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系滿足如圖所示的函數(shù)圖象．
（1）求z關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出在這30天（9月1日至9月30日）的試銷中，日銷售利潤ω（元）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）“十一”黃金周期間，李某采用降低售價(jià)從而提高日銷售量的銷售策略．10月1日全天，銷售價(jià)格比9月30日的銷售價(jià)格降低a%而日銷售量就比9月30日提高了6a%（其中a為小于15 的正整數(shù)），日銷售利潤比9月份最大日銷售利潤少569元，求a的值．（參考數(shù)據(jù)：50²=2500，51²=2601，52²=2704）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象得出銷售價(jià)格z與銷售時(shí)間x（天）的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系進(jìn)而求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)1≤x≤20時(shí)，以及當(dāng)20＜x≤30時(shí)，表示出日銷售利潤，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函數(shù)的最值求法以及一次函數(shù)的增減性，得出9月份日銷售利潤最大為1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569進(jìn)而求出a的值即可．
解答：（1）由圖象知，當(dāng)1≤x≤20時(shí)，設(shè)z=kx+b，
則有：
，
解得：，
即z=x+35，
當(dāng)20＜x≤30時(shí)z=45，
綜上：z=；

（2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，
W=yz-20y=（-2x+80）（x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）
=-50x+2000，
即W=；

（3）9月30日的價(jià)格為45元，日銷售量為20個(gè)，
9月份當(dāng)1≤x≤20時(shí)日銷售利潤為：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
當(dāng)9月5日時(shí)日利潤最大為1225元．
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，利潤為W=-50x+2000，
當(dāng)x增加時(shí)W減小，故為x=21時(shí)最大．最大日銷售利潤為950元，
綜上9月份日銷售利潤最大為1225元．
由題意得45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，
（1+6a%）[900（1-a%）-400]=656，
（1+6a%）（900-9a-400）=656，
（1+6a%）（500-9a）=656，
500-9a+30a-54a²%=656，
方程兩邊同乘以100得：
54a²-2100a+15600=0，
化簡得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=（舍），
答：a的值為10．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．