Question

1．如圖（1），矩形ABCD的邊AB=4，BC=8，將Rt△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△GEF，點E與B重合，將△GEF從B以每秒1個單位的速度向射線BC方向勻速移動，當點G與點C重合時停止運動，設運動時間為t秒，解答下列問題：
（1）在運動過程中，當t為何值時，GF過點A；
（2）在整個運動過程中，設△GEF與△ACD重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3）如圖（2）在運動過程中當0≤t≤8時，連接BD交AC與O，設EF與線段BD交于點P，是否存在△PEO為等腰三角形？若存在，求出相應的t，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可知BF=BC=E′F′，易得F′M=ME′=4，可得AM為△G′E′F′的中位線，由中位線的性質(zhì)可得AM的長，易得t；
（2）利用分類討論的思想，①當0≤t≤2時，如圖1，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，可得S=$\frac{1}{4}$t²；
②如圖2，當2＜t≤8時，AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），利用相似三角形的性質(zhì)可得AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），由S=S_△MPA-S_△AQN 可得結果；
③當8＜t≤10時，利用S=S_△ADC-S_△ANQ，求出答案；
④當10＜t≤12時，可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t），QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t），再利用S=$\frac{1}{2}$QM•QC求出答案；
（3）首先表示出PE²=（$\frac{1}{2}$t）²，QE²=2²+（4-t）²，OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$，再分別利用①當PO=PE時，②當EO=EP時，③當OE=OP時，求出答案．

解答 解：（1）∵F′M=ME′=4，
∴t=AM=$\frac{1}{2}G′E′=2$，
即當t=2時，GF過點；

（2）①如圖1，當0≤t≤2時，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，S=$\frac{1}{4}$t²，
②如圖2，當2＜t≤8時，AN=t-2，
∵△ANQ∽△ACD，
∴$\frac{NQ}{AN}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{NQ}{t-2}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），
AQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}（t-2）$，
∴S=S_△MPA-S_△AQN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{20}$t²+$\frac{4}{5}$t$-\frac{4}{5}$；
③如圖3，當8＜t≤10時，
S=S_△ADC-S_△ANQ
=16-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t-$\frac{4}{5}$+16
=$-\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$$+\frac{76}{5}$；
④當10＜t≤12時，
可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$QM•QC
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）²
=$\frac{1}{5}$（24-2t）²
=-$\frac{4}{5}$t²-$\frac{96}{5}$t+$\frac{576}{5}$，
綜上，有S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\frac{1}{20}{t}^{2}+\frac{4}{5}t-\frac{4}{5}（2＜t≤8）}\\{-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{76}{5}（8＜t≤10）}\\{\frac{4}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{576}{5}（10＜t≤12）}\end{array}\right.$；

（3）如圖5，PE²=（$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²，OE²=2²+（4-t）²=4+16-8t+t²，
OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
①當PO=PE時，
$\frac{1}{4}{t}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²
解得：t=5$±\sqrt{5}$；
②當EO=EP時，
t²-8t+20=$\frac{1}{4}$t²，
解得：t₁=4，t₂=$\frac{20}{3}$；
③當OE=OP時，
t²-8t+20=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
解得：t₃=0，t₄=8；
當t=0時，P，E重合   當t=4時，O，P重合，
綜上所述：t的值為5+$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$，$\frac{20}{3}$，8．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確利用分類討論得出t的值以及結合分段函數(shù)求出函數(shù)關系式是解題關鍵．