Question

【題目】已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），且AB=4 ，在∠MON的內(nèi)部，△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°．

（1）求AP的長；
（2）求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上．
（3）如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP．
①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；
②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．

∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4

∴AQ=BQ=2 ，∠APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），

在Rt△APQ中，sin∠APQ=

∴AP= = = =4

（2）

證明：過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T．∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定義）；

在四邊形OSPT中，∠SPT=360°﹣∠OSP﹣∠SOB﹣∠OTP=360°﹣90°﹣60°﹣90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；

又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，

∴△APS≌△BPT，

∴PS=PT（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上；

（3）

解：①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，

∴AQ=BQ= AB=2 ，

∴OQ= =6，

同理：PQ= =2，

∴OP=8，

∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，

∴CD=EF= AB，CF=DE= OP，

∴四邊形CDEF的周長為：8+4

②CD和EF是△ABO和△ABP的中位線，

則CD=EF= AB=2 ，

CF和DE分別是△AOP和△BOP的中位線，則CF=DE= OP，

當(dāng)AB⊥OP時(shí)，OP為四點(diǎn)邊形AOBP外接圓的直徑時(shí)，OP最大，其值是8，OP一定大于當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)的長度是4．

則4+4 ＜t≤8+4

【解析】（1）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知AQ=BQ= AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長度；（2）作輔助線PS、PT（過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T）構(gòu)建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知PS=PT；最后由角平分線的性質(zhì)推知點(diǎn)P在∠MON的平分線上；（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB．①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長度；②當(dāng)AB⊥OP時(shí)，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)，四邊形CDEF的周長取最小值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和三角形中位線定理，掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半即可以解答此題．