Question

已知菱形ABCD，AB=4，∠ADC=120°，點(diǎn)M在射線AB上，BM=1，∠DMN=60°，射線MN交射線BC于N，則BN=________．

Answer 1

3或5
分析：本題需要分兩種情況討論，①點(diǎn)M在線段AB上，②點(diǎn)M在線段AB的延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，分別解出即可．
解答：①當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，

過點(diǎn)D作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接BD，延長DM、CB交于一點(diǎn)P，
則AQ=BQ=2，QM=BM=1，DQ=2，
在Rt△DQM中，DM==，
∵BC∥AD，
∴===，
解得：BP=，PM=，
∵∠DMN=60°，∠DBC=60°，
∴∠PMN=120°，∠PBD=120°，
∴△PMN∽△PBD，
∴=，即=，
解得：BN=3；
②當(dāng)點(diǎn)M在AB延長線上時(shí)，

過點(diǎn)D作DQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接BD，
則DQ=2，BD=4，DM==，
∵BP∥AD，
∴==，==，
∴BP=，
又∵M(jìn)P+PD=DM=，
∴MP=，PD=，
∵∠PMN=∠DMN=60°，∠PBD=∠CBD=60°，
∴△PBD∽△PMN，
∴=，即=，
解得：BN=5．
綜上可得BN=3或5．
故答案為：3或5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，注意構(gòu)造相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊長比例的知識(shí)求解．