【題目】如圖1,拋物線過點(diǎn)軸上的和點(diǎn),交軸于點(diǎn),點(diǎn)該物上限一點(diǎn),且.
(1)拋物線的解析式為:____________;
(2)如圖2,過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),求點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中線段長(zhǎng)度的最大值;
(3)如圖3,若,在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn),使?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,
【解析】
(1)根據(jù),易知點(diǎn)C(0,3),將點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入中,即可得到b,c的值,從而得到拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)B,C坐標(biāo)確定直線BC的解析式為,設(shè),則,則PD的長(zhǎng)度為,結(jié)合x的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求PD長(zhǎng)度的最大值;
(3)首先由,OB=OC,易知∠BCP=∠OCB=45° ,得到PC//OB,設(shè)直線BQ與y軸交于點(diǎn)G,結(jié)合條件證得△CPB≌△CGB,得到CG=CP=2,得到點(diǎn)G的坐標(biāo),利用B,G得到直線BQ的解析式,再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組,從而求得交點(diǎn)Q的坐標(biāo)并說明了其存在.
解:(1)∵,易知點(diǎn)C(0,3), 將點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入中得到 ,解得,∴拋物線的解析式為:.
(2)由,得B(3,0)
設(shè)直線BC的解析式為
將點(diǎn)代入得
∴直線BC的解析式為
設(shè)點(diǎn),則
∴
.
∴當(dāng)時(shí),PD有最大值.
(3)存在
∵,點(diǎn)P在第一象限,∴
∵B(3,0),C(0,3)
∴OC=OB
∴△BOC是等腰直角三角形
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠BCP=∠OCB=45°,∴CP∥OB,∴P(2,3)
設(shè)BQ與y軸交于點(diǎn)G
在△CPB和△CGB中:
,∴△CPB≌△CGB(ASA)
∴CG=CP=2
∴OG=1
∴點(diǎn)G(0,1),
設(shè)直線BQ:
將點(diǎn)B(3,0)代入,∴,
∴直線BQ:,
聯(lián)立直線BQ和二次函數(shù)解析式
解得:或(舍去)
.
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【題目】如圖1,中,,,為上一動(dòng)點(diǎn),且,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接.
(1)①求證:;
②若,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)時(shí),求證:平分.
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【題目】王老師從學(xué)校出發(fā),到距學(xué)校的某商場(chǎng)去給學(xué)生買獎(jiǎng)品,他先步行了后,換騎上了共享單車,到達(dá)商場(chǎng)時(shí),全程總共剛好花了.已知王老師騎共享單車的平均速度是步行速度的3倍(轉(zhuǎn)換出行方式時(shí),所需時(shí)間忽略不計(jì)).
(1)求王老師步行和騎共享單車的平均速度分別為多少?
(2)買完獎(jiǎng)品后,王老師原路返回,為按時(shí)上班,路上所花時(shí)間最多只剩10分鐘,若王老師仍采取先步行,后換騎共享單車的方式返回,問:他最多可步行多少米?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,菱形OABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在x軸正半軸上,∠AOC=60°,若將菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°,得到四邊形OA′B′C′,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_____.
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【題目】如圖,中,,,,是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以為邊在外作等邊.若是的中點(diǎn),則的最小值為( )
A.6B.8C.9D.10
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn),,且直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),連接,.
(1)直接寫出,的值及直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)與的面積相等嗎?寫出你的判斷,并說明理由;
(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn),當(dāng)的值最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.
(1)求邊AC的長(zhǎng);
(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D,求的值.
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【題目】如圖①,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在BC上,連接BD,DE,∠CDE=∠ABD.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=90°時(shí),線段DE與BC有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
(3)如圖③,若AB=AC=10,sin∠CDE=,求BC的長(zhǎng).
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖象上,點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)的圖象上,AC//BD//y軸,已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,△OAC與△ABD的面積之和為,則k的值為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
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