Question

已知菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AC=2a，BD=2b，AB=c
（1）菱形的對(duì)角線AC和BD具有怎樣的位置關(guān)系？
（2）若沿兩條對(duì)角線把菱形剪開(kāi)，分成四個(gè)三角形，利用這四個(gè)三角形可拼成一個(gè)可以證明勾股定理的圖形．請(qǐng)你畫出示意圖，并證明勾股定理．
（3）若a=4，b=3，求
①菱形的邊長(zhǎng)和菱形的面積．（直接寫出結(jié)論）
②求菱形的高．（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線AC和BD互相垂直平分即可直接得出答案．
（2）由2中拼法，拼法一由大正方形的面積得；拼法二由小正方形的面積得，然后化簡(jiǎn)即可．
（3）①由上面的結(jié)論得菱形的邊長(zhǎng)，然后即可求出面積，②根據(jù)平行四邊形的面積公式可得菱形的高．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴對(duì)角線AC和BD互相垂直平分．
（2）拼法一：如圖，
由大正方形的面積得(a+b)2=c2+4×

1

2

ab．
化簡(jiǎn)得a²+b²=c²

（2）拼法二：如圖，
由小正方形的面積得(a-b)2=c2-4×

1

2

ab
化簡(jiǎn)得a²+b²=c²

（3）①由上面的結(jié)論得
菱形的邊長(zhǎng)c=

a2+b2

=

32+42

=5，
菱形的面積=2ab=2×3×4=24，
②根據(jù)平行四邊形的面積公式可得
菱形的高=

24

5

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)菱形的性質(zhì)和勾股定理的證明等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握．此題中的第（2）問(wèn)有一定的拔高難度，要求學(xué)生具備一定的空間想象能力，因此屬于難題．