Question

15．【發(fā)現(xiàn)與證明】把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中有許多結(jié)論：?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，AD 與B′C交于E，連結(jié)B′D，則△A B′C與?ABCD重疊部分的圖形（△AEC）是等腰三角形．請利用圖1證明這個結(jié)論．

【應(yīng)用與探究】
（1）如圖1，已知∠B=30°，若AB=$\sqrt{3}$，∠AB′D=75°，則∠ACB=45°°；
（2）如圖2，已知∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=1，AB′與邊CD相交于點(diǎn)E，求△AEC的面積．

Answer 1

分析 （1）△ABC沿AC翻折至△AB′C，∠B=30°得到∠AB′C=∠B=30°，即∠ACB=∠CB′D=∠AB′D-∠AB′C=∠AB′D-∠B=75°-30°=45°
（2）過C點(diǎn)分別作CG⊥AB，CH⊥A B′，垂足分別為G、H，應(yīng)用含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理AE和CH的長即可求出△AEC的面積．

解答 【發(fā)現(xiàn)與證明】解：如答圖1，

設(shè)AD與B′C相交于點(diǎn)F，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC=B′C．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB′=∠CAD=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∴AF=CF．
∴B′F=DF．
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∵∠AFC=∠B′FD，
∴∠ACB′=∠CB′D
∴B′D∥AC．
【應(yīng)用與探究】
（1）設(shè)AD與B′C相交于點(diǎn)F，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC=B′C．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB′=∠CAD=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∴AF=CF．
∴B′F=DF．
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∵∠AFC=∠B′FD，
∴∠ACB′=∠CB′D
∴∠ACB=∠CB′D=∠AB′D-∠AB′C=∠AB′D-∠B=75°-30°=45°，
故答案為45°
（2）如答圖2，

過C點(diǎn)分別作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分別為G、H．
∴CG=CH．
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵△AGC≌△AHC，
∴CH=CG=$\frac{1}{2}$，AH=AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
設(shè)AE=CE=x，
由勾股定理得，CE²=CH²+HE²
即：x²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$
∴△AEC的面積=$\frac{1}{2}$AE×CH=$\frac{7\sqrt{3}}{36}$．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；計算和表示出角和線段是解本題的關(guān)鍵．