Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AF=DB；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形AFCD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據平行線的性質推出∠AFB=∠DBE，AAS證△AEF≌△DEB，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）推出AF=CD，根據平行四邊形的判定得出平行四邊形，求出AD=CD，根據菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFB=∠DBE，
在△AEF和△DEB中

∠AEF=∠DEB ∠AFE=∠DBE AE=DE

∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD；

（2）四邊形AFCD是菱形，
證明：∵D為BC的中點，
∴CD=BD，
∵AF=BD，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵D為BC的中點，
∴AD=DC，
∴四邊形AFCD是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．