Question

已知：如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，BD∥OA，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)BC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AC=，∠CAB＝75°，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OB，如圖3.

∵ OA=OB，∠OAB=45°，

∴ ∠1=∠OAB=45°

∵ AO∥DB，

∴∠2 =∠OAB=45°.

∴ ∠1 +∠2=90°.

∴ BD⊥OB于B. 

∴ 又點(diǎn)B在⊙O上.

∴ CD是⊙O的切線.

（2）解：作OE⊥AC于點(diǎn)E.

∵OE⊥AC，AC=，

∴AE＝＝.

∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，

∴∠3=∠BAC －∠OAB=30°.

∴ 在Rt△OAE中，. ····································· 5分

解法二：如圖4，

延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)F，連結(jié)FC.

∴ ∠ACF =90°.

在Rt△ACF中，.

∴AO＝＝4.