Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，M為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作DM⊥AB，交弦AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且DC=DE．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果DM=15，CE=10，cos∠AEM=

5

13

，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，根據(jù)DM垂直于AC，得到一對(duì)角互余，等量代換得到∠OCD=90°，即可得到DC為圓O的切線；
（2）過(guò)D作DG垂直于AC，連接OB，利用三線合一得到G為CE中點(diǎn)，由CE長(zhǎng)求出EG長(zhǎng)，利用對(duì)頂角相等得到∠DEG=∠AEM，確定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DG的長(zhǎng)，由DM-DE求出EM的長(zhǎng)，由一對(duì)直角相等，一對(duì)對(duì)頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似，由相似得比例求出AM與AE的長(zhǎng)，AE+EC求出AC的長(zhǎng)，由AB為圓的直徑，得到三角形ABC為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cosA，即可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出圓的半徑．

解答：（1）證明：如圖，連結(jié)OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切線；
（2）如圖所示，過(guò)D作DG⊥AC，連接OB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=

1

2

CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM=

EG

DE

=

5

13

，
∴DE=13，
∴DG=

DE2-EG2

=12，
∵DM=5，
∴EM=DM-DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴

AM

DG

=

EM

EG

=

AE

DE

，即

AM

12

=

2

5

=

AE

13

，
∴AM=

24

5

，AE=

26

5

，
∴AC=AE+EC=

76

5

，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cosA=

AM

AE

=

AC

AB

，
∴AB=

247

15

，
則圓O的半徑為

1

2

AB=

247

30

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．