Question

如圖1，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E（4,0）

圖1                     圖2

（1）當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？

（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時(shí)一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動.設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）.

① 當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；

② 以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；若無可能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）因拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0,0）和點(diǎn)E（4,0）

故可得c=0,b=4所以拋物線的解析式為

由

得當(dāng)x=2時(shí)，該拋物線的最大值是4.

（2）① 點(diǎn)P不在直線ME上.已知M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)，

設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.

于是得  ，解得

所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8.

由已知條件易得，當(dāng)時(shí)，OA=AP=，

∵ P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8.      

∴ 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上. 

②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積可能為5

∵ 點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上， ∴ OA=AP=t.

∴ 點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為(t,t)、(t,-t ²+4t)

∴ AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,∴ AN-AP=(-t ²+4 t)- t=-t ²+3 t=t(3-t)≥0 ,  

∴ PN=-t ²+3 t  

（�。┊�(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.

（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是梯形.

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t ²+3 t)]×2=-t ²+3 t+3

當(dāng)-t ²+3 t+3=5時(shí)，解得t=1、2

 而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5

綜上所述，當(dāng)t=1、2時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5，

當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)（1,3）

當(dāng)t=2時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)（2,4）

【解析】（1）根據(jù)O、E的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出所求的結(jié)論；

（2）①當(dāng)t=時(shí)，OA=AP=，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；

②此題要分成兩種情況討論：

一、PN=0時(shí)，即t=0或t=3時(shí)，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是△PCD，以CD為底AD長為高即可求出其面積；

二、PN≠0時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是梯形PNCD，根據(jù)拋物線的解析式可表示出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得出PN的長，根據(jù)梯形的面積公式即可求出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式，令S=5，可得到關(guān)于t的方程，若方程有解，根據(jù)求得的t值即可確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，若方程無解，則說明以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形的面積不可能為5．