Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：

①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請(qǐng)求出t的值，并判斷此時(shí)PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

　

Answer 1

解：（1）如圖（1）過D作DH∥AB交BC于點(diǎn)H，

∵AD∥BC，DH∥AB，

∴四邊形ABHD是平行四邊形，

∴DH=AB=8，BH=AD=2，

∵CD=10，

∴HC==6，

∴BC=BH+CH=8，

∴S_ABCD=（AD+BC）•AB=×（2+8）×8=40；

（2）①∵BP=CQ=2t，

∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，

∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，

∴8﹣2t+2+10﹣2t=2t+8+2t，

∴t=＜4，

∴當(dāng)t=秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長平分，

QC=3，PB=3，

∵QE∥DH，

∴==，

∴==，

∴QE=，EC=，

BE=8﹣=，

∴四邊形PBCQ面積=S_梯形AEBP+S_△QEC=（PB+QE）×BE+QE×EC=（+3）×+××==18.9，

∴PQ不平分梯形ABCD的面積；

②第一種情況：如圖（2），當(dāng)0≤t≤4時(shí)，過Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E，H，

∵AP=8﹣2t，AD=2，

∴PD==，

∵CE=t，QE=t，

∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t，

∴PH=2t﹣t=t，

∴PQ===，

DQ=10﹣2t，

I：DQ=DP，10﹣2t=，

解得；t=4秒，

Ⅱ：DQ=PQ，10﹣2t=，

化簡得：3t²﹣26t+45=0，

解得；t=，t=＞4（不合題意，舍去），

∴t=，

第二種情況：當(dāng)4≤t＜5時(shí)，DP=DQ=10﹣2t，

∴當(dāng)4≤t＜5時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立，

第三種情況：5＜t≤6時(shí)，DP=DQ=2t﹣10，

∴5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立，

綜上所述，t=或4，4≤t＜5或，5＜t≤6時(shí)以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．