Question

7．如圖，矩形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交于BC邊上的中點(diǎn)E，連接OE．下列結(jié)論：①∠ACB=30°；②OE⊥BC；③OE=$\frac{1}{4}$BC；④S_△ACE=$\frac{1}{8}$S_?ABCD．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OB=OC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE，OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}$AB，證出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE=$\frac{1}{2}$BC，得出①不正確，②、③正確；由△ACE的面積=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面積，得出④不正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$≠$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB≠30°，
∴①不正確，②、③正確；
∵△ACE的面積=$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC•AB=$\frac{1}{4}$BC•AB=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面積，
∴④不正確；正確的有2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．