Question

12．我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P．像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）①如圖1，當∠ABE=45°，$c=2\sqrt{2}$時，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$；
②如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，求a和b的值
歸納證明
（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先判斷△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后計算即可；
（2）先設(shè)AP=m，BP=n，表示出線段PE，PF，最后利用勾股定理即可．

解答 解：（1）①當∠ABE=45°，$c=2\sqrt{2}$時，a=$2\sqrt{5}$，b=$2\sqrt{5}$
如圖1，

連接EF，則EF是△ABC的中位線
∴EF=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{2}$，
∵∠ABE=45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2，EP=FP=1，
∴AE=BF=$\sqrt{5}$，
∴.$a=b=2\sqrt{5}$
②如圖2，

連接EF，則EF是△ABC的中位線．
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2，BP=$2\sqrt{3}$，
∵EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，PE=$\sqrt{3}$，PF=1
∴AE=$\sqrt{7}$，BF=$\sqrt{13}$
∴$a=2\sqrt{13}$，$b=2\sqrt{7}$．       
（2）a²+b²=5c²   
如圖3，

連接EF，設(shè)AP=m，BP=n，
則c²=AB²=m²+n²，
∵EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴PE=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$n，PF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$m，
∴$A{E^2}={m^2}+\frac{1}{4}{n^2}$，$B{F^2}={n^2}+\frac{1}{4}{m^2}$，
∴b²=AC²=4AE²=4m²+n²，a²=BC²=4BF²=4n²+m²
∴a²+b²=5（m²+n²）=5c²．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的中位線，表示出線段是解本題的關(guān)鍵．