Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AP，EF，給出下列四個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD=

2

EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正確的結(jié)論有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=45°，作PH⊥AB于H，可以得出四邊形BEPH為正方形，可以得出AH=CE，由條件可以得出四邊形PECF是矩形，就有CE=PF，利用三角形全等可以得出AP=EF，∠PFE=∠BAP，由勾股定理可以得出PD=

2

PF，可以得出PD=

2

EC，點(diǎn)P在BD上要使△APD一定是等腰三角只有AP=AD、PA=PD或DA=DP時(shí)才成立，故可以得出答案．

解答：解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，
∴四邊形BEPH和四邊形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，
∴四邊形BEPH為正方形，
∴BH=BE=PE=HP，
∴AH=CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①、②正確，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD=

2

PF，
∴PD=

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CE．
故③正確．
∵點(diǎn)P在BD上，
∴當(dāng)AP=AD、PA=PD或DA=DP時(shí)△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三種情況．
故④錯(cuò)誤，
∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，正方形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的運(yùn)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．