Question

【題目】△ABC中，BC=12， 高AD=8，矩形EFGH的一邊GH在BC上，頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，AD與EF交于點(diǎn)M．

(1)求證：；

(2)矩形EFGH可以為正方形嗎?若能，請(qǐng)求出正方形的面積，若不能，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)EF=x， EH=y，設(shè)矩形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）能，SEHGF=；（3）S=-x2+8x，當(dāng)x=6時(shí)S最大=24

【解析】

（1）先判斷出AM是△AEF的高，再判斷出△AEF∽△ABC，即可得出結(jié)論；

（2）假設(shè)EFGH為正方形設(shè)EF=m，則AM=8-m，列出方程求出m的值即可得出答案；

（3）先判斷出四邊形EMDG是矩形，得出DM＝EH，進(jìn)而表示出AM＝8﹣y，借助（1）的結(jié)論即可得出結(jié)論；由矩形的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵矩形EFGH

∴EF∥BC

∵AD⊥BC

∴AD⊥EF

又∵△AEF∽△ABC

∴

（2）能，解：假設(shè)EFGH為正方形設(shè)EF=m

∴AM=8-m

∴

∴m=

∴假設(shè)成立SEHGF=

（3）∵EH=y

∴AM=8-y

∵

∴

∴y=8-x

∵S=xy

∴S=x(8-x)

∴S=-x2+8x=-(x-6)2+24

∴a=-＜0、

∴當(dāng)x=6時(shí)S最大=24