Question

如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線y=a（x﹣2）²+k經(jīng)過A、B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P，

（1）求a，k的值；

（2）在圖中求一點Q，A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出相應的點Q的坐標；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使△ABM的周長最小？若存在，求△ABM的周長；若不存在，請說明理由；

（4）拋物線的對稱軸是上是否存在一點N，使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出N點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，

可求得y=3，

∴A（1，0），B（0，3），

分別代入y=a（x﹣2）²+k，可得，解得，

即a為1，k為﹣1；

（2）由（1）可知拋物線解析式為y=（x﹣2）²﹣1，

令y=0，可求得x=1或x=3，

∴C（3，0），

∴AC=3﹣1=2，AB=，

過B作平行x軸的直線，在B點兩側分別

截取線段BQ₁=BQ₂=AC=2，如圖1，

∵B（0，3），

∴Q₁（﹣2，3），Q₂（2，3）；

過C作AB的平行線，在C點分別兩側截取CQ₃=CQ₄=AB=，如圖2，

∵B（0，3），

∴Q₃、Q₄到x軸的距離都等于B點到x軸的距離也為3，且到直線

x=3的距離為1，

∴Q₃（2，3）、Q₄（4，﹣3）；

綜上可知滿足條件的Q點的坐標為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；

（3）由條件可知對稱軸方程為x=2，連接BC交對稱軸于點M，連接MA，如圖3，

∵A、C兩點關于對稱軸對稱，

∴AM=MC，

∴BM+AM最小，

∴△ABM周長最小，

∵B（0，3），C（3，0），

∴可設直線BC解析式為y=mx+3，

把C點坐標代入可求得m=﹣1，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

當x=2時，可得y=1，

∴M（2，1）；

∴存在滿足條件的M點，

此時BC=3，且AB=，

∴△ABM的周長的最小值為3+；

（4）由條件可設N點坐標為（2，n），[來源:學科網(wǎng)]

則NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，

當△ABN為以AB為斜邊的直角三角形時，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，

∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，

即N點坐標為（2，1）或（2，2），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（2，1）或（2，2）．

點評： 本題主要考查二次函數(shù)的應用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識點．在（1）中求得A、B兩點的坐標是解題的關鍵，在（2）中確定出Q點的位置是解題的關鍵，在（3）中確定出M點的位置是解題的關鍵，在（4）中設出N點坐標，利用勾股定理得到方程是解題的關鍵．本題涉及知識點較多，綜合性較強，難度適中．