Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C，
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=2，AD=3，BE=2，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
∴AE===4．
∵△ABF∽△EAD，
∴=．
∴=．
∴BF=．
分析：（1）求三角形相似就要得出兩組對(duì)應(yīng)的角相等，已知了∠BFE=∠C，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得出∠ADE=∠AFB，根據(jù)AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，這樣就構(gòu)成了兩三角形相似的條件．
（2）根據(jù)（1）的相似三角形可得出關(guān)于AB，AE，AD，BF的比例關(guān)系，有了AD，AB的長(zhǎng)，只需求出AE的長(zhǎng)即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，這樣就能求出BF的長(zhǎng)了．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的判定和性質(zhì)，同時(shí)也用到了平行四邊形的性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相等等知識(shí)點(diǎn)．