Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于5cm2？

（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在某一時(shí)刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ，如圖2，PE與AB能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）厘米；（2）當(dāng)t=1秒時(shí)，△PCQ的面積等于5cm2；（3）當(dāng)t=時(shí)，PE⊥AB．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，可求出CP，CQ的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出線段即斜邊PQ的長(zhǎng)；

（2）由三角形面積公式可建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；

（3）延長(zhǎng)QE交AC于點(diǎn)D，若PE⊥AB，則QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出DE=0.5t，易證△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性質(zhì)可得，把已知數(shù)據(jù)代入即可求出t的值．

解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，

∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，

∴AP=2厘米，QC=4厘米，

∴PC=4，在Rt△PQC中PQ==厘米；

（2）∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，

∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，

∴S△CPQ=CPCQ=，

∴t2﹣6t+5=0

解得t1=1，t2=5（不合題意，舍去）

∴當(dāng)t=1秒時(shí)，△PCQ的面積等于5cm2；

（3）能垂直，理由如下：

延長(zhǎng)QE交AC于點(diǎn)D，

∵將△PQC翻折，得到△EPQ，

∴△QCP≌△QEP，

∴∠C=∠QEP=90°，

若PE⊥AB，則QD∥AB，

∴△CQD∽△CBA，

∴，

∴，

∴QD=2.5t，

∵QC=QE=2t

∴DE=0.5t

易證△ABC∽△DPE，

∴

∴，

解得：t=（0≤t≤4），

綜上可知：當(dāng)t=時(shí)，PE⊥AB．