Question

在四邊形ABCD中，AD=10，E、F分別為是AB、CD上一點，且AE=CF=4，點G從A出發(fā)沿AD向D點運動，同時點H從點C出發(fā)沿CB向點B運動，點G、H的速度均為1cm/s，運動時間為t s．
（1）若四邊形ABCD為正方形，那么t=

 

S時，能使GH=EF； 
（2）若四邊形ABCD為平行四邊形，AB=6，∠DAB=60°，是否存在t值，使GH=EF，說明理由；
（3）若四邊形ABCD為矩形，AB=6，那么t為何值時，能使GH=EF，說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）當四邊形ABCD為正方形時，過E作EM∥BC，交CD于M，則可知EM=AD=4，FM=10-4-4=2，過G作GN∥AB，交BC于N，要當GH=EF時，可知△EMF≌△GNH，由題意可得MH=10-2t=EM=4，可求得t；
（2）分別過A和E作AJ⊥CD，EK⊥CD，分別交CD延長線和CD于點J、K，則可求得AJ=EK=5

3

，而CJ=CD+AE=6+5=11，則KF=11-4-5=2，求得EF的長，過點G和A分別作BC的垂線，垂足分別為O、P，則理可表示出GO和OH的長度，進一步可求出時間t；
（3）方法同（1）．

解答：解：
由題意可知0≤t≤10，
（1）當四邊形ABCD為正方形時，過E作EM∥BC，交CD于M，過G作GN∥AB，交BC于N，

則可知EM=AD=10，FM=CD-CF-DM=10-4-4=2，HN=BC-BN-CH=BC-CH-AG=10-2t，
當GH=EF時，
在△RtEMF和Rt△GNH中

EM=GN EF=GH

∴△EMF≌△GNH（HL），
∴NH=FM，
∴10-2t=2，
解得t=2，
故答案為：2；
（2）存在，理由如下：
四邊形ABCD為平行四邊形，分別過A和E作AJ⊥CD，EK⊥CD，分別交CD延長線和CD于點J、K，過點G和A分別作BC的垂線，垂足分別為O、P，

則在Rt△ADJ中，因為∠ADJ=∠DAB=60°，所以AJ=EK=5

3

，JK=

1

2

AD=5，
而CJ=CD+AE=6+5=11，則KF=CJ-CF-JK=11-4-5=2，
則在Rt△EFK中，由勾股定理可得：EF²=EK²+FK²=75+4=79，
同理在Rt△APB中可求得AP=GO=3

3

，PB=3，所以PC=10+3=13
而CH=AG=t，所以OH=13-2t，則在Rt△GOH中，由勾股定理可得GH²=GO²+HO²=27+（13-2t）²，
由EF=GH可得：27+（13-2t）²=79，
解得t=6.5-

13

或t=6.5+

13

＞10（舍去），
故存在滿足條件的t；
（3）當t為5-

17

或5+

17

時，EF=GH，理由如下：
四邊形ABCD為矩形，過G作GS⊥BC，垂足為S，過E作ER⊥CD，垂足為R，

則ER=AD=10，CR=BE=6-4=2，所以RF=CF-CR=4-2=2，在Rt△ERF中，由勾股定理可得：EF²=ER²+FR²=104，
又GS=AB=6，AG=BS=CH=t，所以SH=10-2t，在Rt△GSH中，由勾股定理可得：GH²=GS²+SH²=36+（10-2t）²，
由EF=GH可得：104=36+（10-2t）²，
解得t=5-

17

或t=5+

17

，
所以當t為5-

17

或5+

17

時，EF=GH．

點評：本題主要考查矩形、正方形及平行四邊形的性質，利用條件求出EF的長是解題的關鍵．