Question

【題目】猜想與證明：如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點(diǎn)在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點(diǎn)，連接DM、ME，試猜想DM與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展與延伸：

（1）若將”猜想與證明“中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關(guān)系為 ．

（2）如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)M仍為AF的中點(diǎn)，試證明（1）中的結(jié)論仍然成立．

Answer 1

【答案】DM=ME，證明過(guò)程見(jiàn)解析；（1）、DM=ME；（2）、DM=ME，證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（1）、延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，根據(jù)ABCD和CEFG為矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根據(jù)Rt△HDE得到HM=DE，則可以得到答案；（2）、連接AE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根據(jù)RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根據(jù)RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，從而說(shuō)明DM=ME.

試題解析：如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=DE，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（1）、如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，F(xiàn)M=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME，

（2）、如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一條直線上，

在RT△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．