已知:如圖9-1,拋物線經(jīng)過點O、A、B三點,四邊形OABC是直角梯形,其中點A在x軸上,點C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).

(1)求拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式;(3分)

(2)若D為OA的中點,動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動,速度為每秒1個單位,移動時間記為t秒.幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成

1﹕3兩部分?并求出此時P點的坐標;(3分)

(3)如圖9-2,作△OBC的外接圓O′,點Q是拋物線上點A、B之間的動點,連接OQ交⊙O′于點M,交AB于點N.當∠BOQ=45°時,求線段MN的長.(3分)

 



(1)解:∵拋物線經(jīng)過O(0,0)、A(12,0)、B(4,8)

∴設(shè)拋物線的解析式為:

∴將點B的坐標代入,得:,解得:,

∴所求拋物線的關(guān)系式為:

(2)解:過點B作BF⊥x軸于點F,∵BF=8,AF=12-4=8∴∠BAF = 45º

∴S梯形OABC= ∴面積分成1﹕3兩部分,即面積分成16﹕48

由題意得,動點P整個運動過程分三種情況,但點P在BC上時,

由于∵S△ABD= ∴點P在BC上不能滿足要求!

即點P只能在AB或OC上才能滿足要求,

① 點P在AB上,設(shè)P(x,y)

可得S△APD=

又S△APD=

∴ y=

過P作PE⊥x軸于點E,由∠BAF = 45º

∴AE=PE=

∴x=

又過D作DH⊥AB于H,

∵AD=6

∴DH=

∵S△APD=

∴t=

∴當t=時,P滿足要求。

② 點P在OC上,設(shè)P(0,y)

∵S△APD=

∴ y= ∴P

∴此時t=AB+BC+CP=, P滿足要求。

(3)解:連接BM, ∵OB是圓直徑,

∴BM⊥OM,

∵BC=4,OC=8

∴OB=

∵ 在Rt△BMO中∠BOQ=45°

∴OM=

由(2)可知:∠OAB=45°,AB=

∵∠BOQ=45°

∴∠BOA=∠BOQ+∠AON =45°+∠AON

又∵∠BNO=45°+∠AON

∴∠BNO =∠BOA

又∵∠BON=∠BAO=45°

∴△BON∽△BAO

∴ON=

∴MN=ON-OM=


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