Question

已知，Rt△ABC中的兩個(gè)直角邊a，b分別是關(guān)于x的方程x²-

2

x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且sinA+sinB=

2

，求k值及∠A的大小．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理將sinA+sinB=

2

轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的方程，在用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程，求出k的值并檢驗(yàn)，由根的判別式知兩直角邊a=b，得出∠A的大�。�

解答：解：由題意知a+b=

2

，ab=k．
∵sinA+sinB=

2

．
∴

a

c

+

b

c

=

2

，

a+b

a2+b2

=

2

．
∴

a+b

(a+b)2-ab

=

2

( 2 )2-2k

=

2

．
解得k=

1

2

．
代入原方程得x²-.

2

x+

1

2

=0．
∵△=2-2=0．
∴a=b=

2

2

．
所以∠A=45°．

點(diǎn)評(píng)：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
①△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．
（3）在Rt△ABC中，若∠C=90°，則sinA=

a

c

，a²+b²=c²．