Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，得x=3，

∴B（3，0），

∵經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）

解：由（1），得A（1，0），連接BP，

∵∠CBA=∠ABP=45°，

∵拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

∴P（2，﹣1），

∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴BA=2，BC=3 ，BP= ，

當(dāng)△ABC∽△PBQ時，

∴ ，

∴ ，

∴BQ=3，

∴Q（0，0），

當(dāng)△ABC∽△QBP時，

∴ ，

∴ ，

∴BQ= ，

∴Q（ ，0），

∴Q點的坐標(biāo)為（0，0）或（ ，0）．

【解析】（1）先確定出點B，C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）先求出BA=2，BC=3 ，BP= ，然后分兩種情況①由△ABC∽△PBQ，得到 ，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得 ，求出BQ，即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能正確解答此題．