【題目】圖中,AB為⊙O的直徑,AB=4,P為AB上一點,過點P作⊙O的弦CD,設(shè)∠BCD=m∠ACD.
(1)已知 ,求m的值,及∠BCD、∠ACD的度數(shù)各是多少?
(2)在(1)的條件下,且 ,求弦CD的長;
(3)當(dāng) 時,是否存在正實數(shù)m,使弦CD最短?如果存在,求出m的值,如果不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:如圖1,
由 ,
得 m=2,
經(jīng)檢驗m=2是原方程的根。
連結(jié)AD、BD
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD,∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°,∠BCD=60°;
(2)解:如圖1,連結(jié)AD、BD,則∠ABD=∠ACD=30°,AB=4
∴AD=2, ,
∵ ,
∴ , ,
∵∠APC=∠DPB,∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴ ,
∴ACDP=APDB= ×2 = ①,
PCDP=APBP= × = ②
同理△CPB∽△APD
∴ ,
∴BCDP=BPAD= ×2= ③,
由①得 ,由③得 ,
,
在△ABC中,AB=4,
∴ ,
∴
由② ,
得
∴
方法二:由①÷③得 ,
在△ABC中,AB=4,AC= × = ,
BC= ×2=
由③ ,
得
由② ,
得
∴ ;
(3)解:如圖2,連結(jié)OD,
由 ,AB=4,
則 ,
則 ,
則 ,
要使CD最短,則CD⊥AB于點P
于是 ,
∵∠POD=30°
∴∠ACD=15°,∠BCD=75°
∴m=5,故存在這樣的m值,且m=5.
【解析】(1)先求出此分式方程的解,即可求出∠BCD=2∠ACD,連結(jié)AD、BD、OD,根據(jù)兩圓周角所夾弧對的兩圓心角之和為180°,即可求出∠BCD、∠ACD的度數(shù),或根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,得到∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°,即可求得結(jié)果。
(2)由(1)可知∠ABD=30°,根據(jù)已知易求得AD、AP、BP、BD的長度,再證明△APC∽△DPB、△CPB∽△APD得出它們的對應(yīng)邊成比例,再在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,求出DP的長,將DP的長代入② ,就可以求出PC的長,繼而求出CD。方法二、由①÷③得 A C : B C的值,根據(jù)AB=4求出BC的長,再由③和 ②,即可求出結(jié)果。
(3)要使弦CD最短,根據(jù)軸對稱的相關(guān)知識,先找到點P的位置,即CD⊥AB于點P,連接OD,根據(jù)已知條件求出AP、OP的長,在Rt△POD中,運(yùn)用銳角三角函數(shù)求出∠POD的度數(shù),從而求出∠ACD,∠BCD的度數(shù),即可求出m的值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對圓周角定理的理解,了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列4個結(jié)論:
①abc>0;②b<a+c;③4ac﹣b2>0;④2a+b=0
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】為給人們的生活帶來方便,2017年興化市準(zhǔn)備在部分城區(qū)實施公共自行車免費服務(wù).圖1是公共自行車的實物圖,圖2是公共自行車的車架示意圖,點A,D,C,E在同一條直線上,CD=35cm,DF=24cm,AF=30cm,F(xiàn)D⊥AE于點D,座桿CE=15cm,且∠EAB=75°.
(1)求AD的長;
(2)求點E到AB的距離(結(jié)果保留整數(shù)).
(參考數(shù)據(jù):sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形的對角線,相交于點,關(guān)于的對稱圖形為.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)連接,交于點,連接,取的中點,連接.
①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形;
②若=,請用等式表示線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】某工廠設(shè)門市部專賣某產(chǎn)品,該每件成本每件成本30元,從開業(yè)一段時間的每天銷售統(tǒng)計中,隨機(jī)抽取一部分情況如下表所示:
銷售單位(元) | 50 | 60 | 70 | 75 | 80 | 85 | … |
日銷售量 | 300 | 240 | 180 | 150 | 120 | 90 | … |
假設(shè)每天定的銷價是不變的,且每天銷售情況均服從這種規(guī)律.
(1)秋日銷售量與銷售價格之間滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)門市部原設(shè)定兩名銷售員,擔(dān)當(dāng)銷售量較大時,在每天售出量超過198件時,則必須增派一名營業(yè)員才能保證營業(yè)有序進(jìn)行.設(shè)營業(yè)員每人每天工資為40元,求每件產(chǎn)品應(yīng)定價多少元,才能使每天門市部純利潤最大?(純利潤=總銷售﹣成本﹣營業(yè)員工資)
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【題目】若a、b滿足,且A(a,0)、B(0,b)
(1) 如圖,在x正半軸上有一點C(x,0).若△ABC的面積大于6,請直接寫出x的取值范圍____________;
(2)若在平面直角坐標(biāo)系第四象限上存在一點N,N的坐標(biāo)為(n,﹣n),滿足4≤S△ABN≤8,求n的取值范圍.
(3)若在平面直角坐標(biāo)系上存在一點M,M的坐標(biāo)為(m,﹣2m),請通過計算說明:無論m取何值△ABM的面積為定值,并求出這個值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的面積為.第一次操作:分別延長,,至點,,,使,,,順次連接,,,得到△.第二次操作:分別延長,,至點,,,使,,,順次連接,,,得到△,…按此規(guī)律,要使得到的三角形的面積超過2020,最少經(jīng)過多少次操作( 。
A.B.C.D.
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【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.
(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是 (寫成兩數(shù)平方差的形式);
(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個矩形,它的寬是 ,長是 ,面積是 (寫成多項式乘法的形式);
(3)比較圖1、圖2陰影部分的面積,可以得到公式 ;
(4)運(yùn)用你所得到的公式,計算下列各題:
① 20.2×19.8 ;
②.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,若動點P從點C開始,按的路徑運(yùn)動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.
出發(fā)2秒后,求的面積;
當(dāng)t為幾秒時,BP平分;
問t為何值時,為等腰三角形?
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