Question

如圖，已知一底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為4r的圓錐，在地面圓周上有一螞蟻位于A(yíng)點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,圓錐的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可求，利用底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理求出弦的長(zhǎng)度．

解答：解：把圓錐沿過(guò)點(diǎn)A的母線(xiàn)展成如圖所示扇形，
則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為AA′（線(xiàn)段）．
由此知：OA=OA′=4r，

ADA′

的長(zhǎng)即為圓錐的底面周長(zhǎng)為2πr．
∴2πr=

nπ×4r

180

，
解得：n=90°，
即∠AOA′=90°，∠OAC=45°．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴AA′=

(4r)2+(4r)2

=4

2

r．
即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是4

2

r．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，此題的關(guān)鍵是找到這一條最短的路徑，并熟悉圓錐的展開(kāi)圖，根據(jù)已知的條件求弦長(zhǎng)．