【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),連接BE、CE,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),連接DF、

BF,點(diǎn)M是BF上一點(diǎn)且=,過點(diǎn)M作MNBC于點(diǎn)N,連接FN,則=

【答案】

【解析】

試題分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)得到A=ABC=BCD=CDA=90°,AB=BC=CD=DA,ADBC.設(shè)AE=a,則DE=a,AB=BC=CD=DA=2a.根據(jù)勾股定理得到BE=a,CE=a,得到BE=CE,過點(diǎn)F作FGAD于G,F(xiàn)G交BC于H.根據(jù)FGCD,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),得到EG=DG=DE=a,GF=CD=a.根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AEB=GDF,由平行線的性質(zhì)得到BEF=DFE,推出EFG≌△CFH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=FH=a,EG=CH=a.推出四邊形CDGH是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CH=DG=a,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到==,于是得到MN=FH=a,BN=BH=a,求得SFMN==a×a=a2,S四邊形FEBN=S正方形ABCD﹣SABE﹣SCDE﹣SCNF=4a22aa﹣=a2.即可得到結(jié)論.

解:四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=ABC=BCD=CDA=90°,AB=BC=CD=DA,ADBC

設(shè)AE=a,則DE=a,AB=BC=CD=DA=2a.

ABE中,由勾股定理,得BE=a,

CDE中,由勾股定理,得CE=a,

BE=CE,

過點(diǎn)F作FGAD于G,F(xiàn)G交BC于H.

ADBC,F(xiàn)GAD,GHBC

FGCD,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),

EG=DG=DE=a,GF=CD=a.

在直角ABE中,tanAEB===2,

在直角GFD中,tanGDF===2,

tanAEB=tanGDF,

AEB<90°,0°<GDF<90°,

∴∠AEB=GDF

BEDF,

∴∠BEF=DFE,

EFGCFH中,,

∴△EFG≌△CFH,

FG=FH=a,EG=CH=a.

GHCD,GDHC,CDA=90°,

四邊形CDGH是矩形,

CH=DG=a,

BH=BC﹣CH=a.

MNBC,GHBC,

MNFH,

==

MN=FH=a,BN=BH=a,

MN=AB,

BN=CH=a,

NH=BC﹣BN﹣CH=a,

SFMN==a×a=a2

S四邊形FEBN=S正方形ABCD﹣SABE﹣SCDE﹣SCNF=4a22aa﹣=a2

==

故答案為:

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