Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F是對角線上的兩點(diǎn)，且AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．求證：四邊形GEHF是平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，連接GH交BD于點(diǎn)O．通過證明四邊形GEHF的對角線互相平分來推知四邊形GEHF是平行四邊形．

解答：證明：如圖，連接GH交BD于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，AB=CD，AB∥CD．
∵G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴GH∥AB∥CD，
∴GO=

1

2

AB，HO=

1

2

CD，
∴GO=HO．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
由∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∴在△ABE與△CDF中，

∠AEB=∠CFD ∠1=∠2 AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四邊形GEHF是平行四邊形．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．